Sabtu, 16 Juni 2012

PENGERTIAN RATA-RATA MEAN , MEDIAN , MODUS


STATISTIK
PENGERTIAN RATA-RATA
MEAN , MEDIAN , MODUS
DOSEN PENGAMPUH:  RIZALMAN M,pd

Oleh
Kelompok 5
Ariyani  TF. 100553
                   Siti awaliah TF. 100603               

FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
SULTAN THAHA SYAIFUDDIN JAMBI

PEMBAHASAN

Pengertian rata-rata
Istilah “rata-rata” dalam kehidupan kita sehari-hari sebenaranya merupakan istila yang acapkali kita jumpai bahkan sering kita gunakan;karena istilah tersebut kiranya bukan lagi merupakan istilah yang asing bagi kita.
Nilai rata-rata dari sekumpulan data yang berupa angka itu pada umumnya mempunyai kecenderungan untuk berada disekitar titik pusat penyebaran data angka tersebut;karena itulah nilai rata-rata atau ukuran rata-rata itu dikenal pula dengan nama ukuran tendasi pusat. Nilai rata-rata juga dikenal dengan istilah ukuran nilai pertengahan, sebab niali rata-rata itu pada umumnya merupakan nilai pertengahan dari nilai-nilai yang ada. Selain itu, karena nilai rata-rata itu biasanya berposisi pada sekitar sentral  penyebaran nilai yang ada , maka nilai rata-rata itu pun yang dikenal dengan nama ukuran posisi pertengahan.
Dari uraian diatas secara singkat dapat dikemukakan bahwa apa yang dimaksud dengan rata-rata itu tidak lain adalah “ tiap bilangan yang dapat dipakai sebagai wakil dari rentetan nilai rata-rata itu wujudnya hanya satu bilangan saja;namau dengan satu bilangan itu akan dapat tercermin gambaran secara umum mengenai kumpulan atau deretan bahan keterangan yang berupa angka atau bilangan itu.
a.       Ukuran rata-rata dan macamnya
Dalam statistic, rata-rata itu mempunyai beberapa bentuk atau macam; masing-masing dengan arti yang berbeda. Berhubungan dengan itu ,papabila dalam menganalisis data statistic kita gunakan istilah “rata-rata”,kita harus dapat menyatakan dengan tegas dan jelas “rata-rata” macam atau jenis manakah yang kita maksudkan itu.
Adapun macam “rata-rata”atau  “ukuran rata-rata”yang dimiliki statistic sebagai ilmu pengetahuan ialah:
o   Rata-rata hitung atau nilai rata-rata hitung(aritmetis mean)yang sering disingkat dengan mean yang umumnya dilambangkan dengan M atau X.
o   Rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata letak (median atau medium) , yang umumnya dilambangkan : Mdn atau Me ,Mn.
o   Modus atau mode , yang biasa dilambangakan dengan Mo
o   Rata-rata ukur atau nilai rata ukur ( geometric mean )yang biasa dilambangkan dengan GM
o   Rata-rata harmonic atau nilai rata-rata harmonic (harmonic mean), yang biasa dilambangkan dengan HM.
Dari kelima ukuran seperti yang disebutkan diatas yang mempunyai relevansi dank arena sering di pergunakan sebagai ukuran didunia statistic pendidikan adalah : mean, media ,modus.

b.      Nilai rata-rata hitung mean
Seperti yang dikemukakan terdahulu dalam bahasa inggris nilai rata-rata hitung dikenai dengan istilah aritmetik mean, atau disingkat dengan Mean saja. Untuk ringkas kata,dalam buku ini istilah yang dipakai pada dasarnya adalah mean.
Sebagai salah satu ukuran yang tendensi pusat,mean dikenal dengan ukuran yang menduduki tempat terpenting terpenting jika dibandingkan dengan ukuran tedensi lainnya. Dalam kegiatan penelitian ilmiah yang mengguanakan statistic sebagai metode analisis data mean dapat dikatakan hamper selalu dipergunakan atau dihitung. Dalam kehidupan sehari-hari pun dengan sadar atau tida, sebenarnya kebnayakan orang tlah menggunakan sebagai salah satu ukuran




A.    Pengertian mean
Secara singkat MEAN dapat dikemukakan sbb;
Mean dari sekelompok(sederetan) angka ( bilangan) adalah jumlah dari keseluruhan angka (bilangan) yang ada, dibagi dengan bnyaknya angka bilangan tersebut.

Ex.
Misalkan seorang siswa SMA memiliki nilai hasil ulangan dalam bidang studi PAI,BI,MTK,FISIKA,BIO,SEJARAH berturut-turut 8,9,7,4,6,dan 5. Untuk memperoleh nilai mean nilai hasil ulangan tersebut adalah :
Nilai yang ada itu kita jumlahkan dan dibagi dengan banyaknya nilai tersebut :
8 + 9 + 7 + 4 + 6 + 5= 6,50
            6
Jika keenam nilai tersebut dilambangkan dengan : X1 X2 X3 X4 X5 X6 Dan banyaknya nilai itu dilambngkan N ,maka mean dari Keenam nilai tersebut adalah :
Mx = X1 + X2 + X3 + X4 +X5 + X6
                        N

Apabila kita rumuskan secara umum , maka :
Mx = X1 + X2 + X3 + X4 +X5 + X6………….. Xn
                        N
Atau disingkat menjadi :
Mx = åX
          N

Inilah rumus umum atau rumus dasar untuk mencari atau menghitung mean.
a.       Cara mencari mean
Ada dua macam cara data tunggal :
1.      Cara mencari mean dari data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu
Rumus yang digunakan
Untuk mencari mean data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu adalah:

Mx = åX
                      N
Mx          = MEAN yang kita cari
åX      = jumlah dari skor-skor(nilai-nilai)yang ada
N         = Banyaknya skor-skor itu sendiri
Table 3.1
Perhitungan mean hasil belajar seorang siswa SMA memiliki nilai hasil ulangan dalam bidang studi PAI,BI,MTK,FISIKA,BIO,SEJARAH.

 X
F
9
8
7
6
5
4
1
1
1
1
1
1
39=åX
6=N

Dari table 3.1 telah kita peroleh : å X = 39, sedangkan N=6 dengan demikian:
MX = åX = 39 = 6,50
            N     6

2.      Cara mencari mean dari data tunggal dimana sebagian atau seluruhannya skornya berfrekuensi lebih dari satu
Rumus yang digunakan
Karena data tunggal yang akan kita hitung meannya baik sebagian atau seluruhnya skornya berfrekuensi lebih dari Satu. Maka rumus mencari meannya : MX = åX
            N

Mx          = MEAN yang kita cari
åX      = jumlah hasil dari perkalian antara masing-masingskor dengan          frekuensinya
N         = Banyaknya skor-skor itu sendiri
Ex.
Dalam evaluasi belajar tahap akhir (EBTA) bidang studi FISIKA yang diikuti 100 siswa kelas terakhir FISIKA A, diperoleh nilai hasil EBTA sebagaimana tertera pada table 3.2.

Table 3.2
Hasil EBTA bidang studi FISIKA dari 100 Orang siswa kelas terakhir FISIKA A

Nilai
(x)
Frekuensi
(f)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
4
20
35
22
11
4
1
total
100=N

Yang berdiri dari tiga kolom. Pada kolom 1 kita muat nilai hasil EBTA yang akan kita cari mean-nya, kolom 2  memuat frekuensi masing-masing nilai hasil EBTA tersebut,sedangkan pada kolom ke3 kita muat hasil perkalian tiap-tiap skor(nilai) yang ada dengan frekuensinya masing-masing.

TABEL  3.3
X
F
fx
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
4
20
35
22
11
4
1
10
18
32
140
210
110
44
12
2
TOTAL
100 = N
578 = åfx

Table 3.3 telah berhasil kita peroleh: å fx = 578 sedangkan N telah kita ketahui = 100. Dengan demikian mean dapat kita peroleh dengan mudah, dengan menggunakan rumus :
MX = åfX
            N

Maka ,
MX = åfX = 578 =5,780 atau 5,78
            N      100
b.      Cara mencari mean untuk data kelompok
Untuk data kelompok mean dapat diperoleh dengan menggunakan dua metode, yaitu metode panjang dan metode singkat.
1.      Mencari mean data kelompok dengan menggunakan metode panjang
Pada perhitungan mean yang menggunakan metode panjang, semua kelompokan data (interval) yang ada terlebih dahulu dicari nilai tengah atau midpoint-nya. Setelah itu,tiap midpoint diperkalikan dengan frekuensi yang dimiliki oleh masing-masing interval yang bersangkutan.
Rumus yang dipergunakan :
 MX = åfX
            N 
Mx           = MEAN yang kita cari
åX      = jumlah dari hasil perkalian antara midpoint dari masing-masing   interval, dengan frekuensinya
N         = Banyaknya skor-skor itu sendiri
Ex.
Dalam tes seleksi penerimaan siswa baru SMA swasta yang diikuti 800 calon, diperoleh nilai hasil test bidang studi bahasa inggris sbb :

Table 3.4

Interval
nilai
F
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
8
16
32
160
240
176
88
40
32
8
total
800 = N
Table 3.5
Perhitungan mean data yang tertera pada table 3.4 dengan menggunakan metode panjang.

Interval
nilai
F
X
fx
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
8
16
32
160
240
176
88
40
32
8
77
72
67
62
57
52
47
42
37
32
616
1152
2144
9920
13680
9152
4136
1680
1184
256
total
800 = N
-
43920 = åfx

Dari table 3.5 telah kita peroleh åfx = 43920, adapun N=800. Dengan demikian:
MX = åfX = 43920 = 54,90
            N      800
2.      Mencari mean data kelompok dengan menggunakan metode singkat
Rumus yang digunakan :
Jika dalam perhitungan mean dipergunakan metode, maka rumus yang dipergunakan  adalah sbb:
Mx = M + i åfx 
                     N
Mx       = mean
M          = mean tekanan atau mean taksiran
i           = interval class(besar atau luas nya pengelompokan data)
åfx      = jumlah dari hasil peerkalian antaratititk tengah buatan sendiri dengan frekuensi dari masing-masing interval
N         = Banyaknya skor-skor itu sendiri
Ex.
Jika misalnya data yang disajikan pada table 3.4 kita cari meannya dengan menggunakan metode singkat , maka proses perhitungan dalam langkah perhitungannya adalah (lihat table 3.6)
               
Interval
nilai
F
X
X’
Fx1
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
8
16
32
160
240
176
88
40
32
8
77
72
67
62
(57)M’
52
47
42
37
32
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-4
-5
+32
+48
+64
+160
0
-176
-176
-120
-128
-40
total
800 = N
-

-336 =åfx

Menghitung mean-nya, dengan menggunakan rumus
Mx = M’+ i åfx 
                     N
Karena M’,i, fx’ dan N telah kita ketahui (yaitu : M’ = 57, i = 5, åfx’= -336 dan N= 800, maka dengan mensubtitusikannya kedalam rumus diatas, dapat kita peroleh mean-nya:
Mx = M’+ i åfx  = 57+5 -366
                     N                          800
= 57-1680  = 57-2,10 = 54,90
           800
Dengan rumus atau metode singkat ternyata mean yang kita peroleh adalah persis sama dengan mean yang kita peroleh dengan menggunakan metode panjang, yaitu : M = 54,90.

3.      Kelemahan mean
Sebagai ukuran rata-rata, mean yang menyandang kelemahan seperti dikemukakan dibawah ini:
1)      Karena Mean diperoleh atau berasal dari hasil perhitungan terhadap seluruh angka yang ada, maka jika dibandingkan dengan ukuran rata-rata lainnya perhitungan relative lebih sukar.
2)      Dalam menghitung Mean, sangat diperlukan ketelitian dan kesabaran, lebih-lebih apabila dihadapkan kepada bilangan yang cukup besar, sedangkan kita tidak memiliki alat bantu perhitungan, seperti : mesin hitung, kalkulator, dan sebagainya.
3)      Sebagai salah satu ukuran rata-rata, Mean kadang-kadang sangat dipengaruhi oleh angka atau nilai ekstrimnya, sehingga hasil yang diperoleh kadang terlalu jauh dari kenyataan yang ada.
Contoh : Siswa “A” memiliki nilai rapor untuk lima macam bidang studi, masing-masing 6,6,6,6, dan 6, sehingga nilai rata-rata hitungnya= 30 : 5 = 6. Siswa “B” untuk kelima bidang studi yang sama, memperoleh nilai 10, 4,3,8, dan 5, sehingga Nilai Rata-rata juga 30:5=6. Siswa “C” untuk kelima bidang studi tersebut memiliki nilai-nilai 10, 2,2,6, dan 10 yang berarti nilai rata-rata  Hitungnya = 30:5=6.
Contoh lain :”A” memiliki uang Rp. 8000,-. “B” memiliki uang Rp. 6900,- sedangkan “C” memiliki uang Rp. 100,-. Jadi rata-rata tiap anak memiliki uang Rp. 15.000,- dibagi 3 = Rp. 5000,- (terlalu menyimpang dari kenyataan yang ada).

B.        Nilai Rata-rata Tengah (Median)
a.       Pengertian niali rata-rata pertengahan (median)
Yang dimaksud dengan nilai rata-rata pertengahan atau median adalah suatu nilai dan angka yang membagi suatu distribusi data kedalam dua bagian yang sama besar. Dengan kata lain, nilai rata-rata pertengahan atau median adalah nilai atau angka yang diatas nilai atau angka tersebut terdapat 1/2N dan dibawahnya juga terdapat 1/2N. itulah sebabnya nilai rata-rata ini dikenal sebagai nilai pertengahan atau nilai posisi tengah, yaitu nilai menunjukan pertengahan dari suatu distribusi data.
b.      Cara mencari nilai rata-rata pertengahan
Cara mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal
1.      Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1
Untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan number of cases-nya berupa bilangan gasal (yaitu:N=2n+1),maka median data yang demikian itu terletak pada bilangan yang (n+1).
Ex.
9 orang mahasiswa menempuh ujian lisan dalam mata kuliah tehnik evaluasi pendidikan. Nilai mereka adalah sebagai berikut: 65 75 60 70 55 50 80 40 30.
Untuk mengetahui nilai berapakah yang merupakan nilai rata-rata pertengahan atau median dari kumpulan nilai hasil ujian tersebut, pertama deretan itu kita atur mulai dari nilai terendah sampai nilai yang tertinggi:

30 40 50 55 60 65 70 75 80
Kita lihat dalam deretan nilai diatas , bilangan ke-1 adalah 30, bilangan k-2=40 dan seterusnya sampai nilai ke-9
Karena N=9,sedangkan rumus bilangan gasal adalah : N= 2n+1, maka 9 = 2n+1
9 = 2n+1
9-1 = 2n
2n = 8
n = 40
Dengan demikian nilai yang merupakn nilai rata-rata pertengahan atau median dari nilai hasil ujian lisan tersebut adalah nilai (bil) yang ke-(4+1) atau bilangan ke-5 yaitu nilai 60.

2.      Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari 1
Untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1dan number of cases-nya merupaka bilangan genap (yaitu : N=2n),maka median atau nilai rata-rata pertengahan data yang demikian itu terletak antara bilangan yang ke-n dan ke (n+1).
Ex.
Tinggi badan 10 orang calon yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon penerbang enunjukan angka sebagai berikut: 168 162 169 170 164 167 161 166 163 dan 165cm.
Cara mencari nilai rata-rata pertengahan atau mediannya sama seperti telah dikemukakan di atas , yaitu pertama-tama deretan angka itu terlebih dahulu kita atur berderet ,mulai dari nilai terendah sampai dengan nilai yang tertinggi.
161  162 163 164 165 166 167 168 169 170
   1      2      3      4     5     6     7      8     9     10

Karena N = 10 (merupakan bilangan bulat) , sedangkan rumus untuk bilangan bulat adalah ;= 2n, maka : 10 =2n
                                            N =  5
Jadi median atau nilai rata-rata pertengahan dari tinggi badan 10 orang peserta tes seleksi calon penerbang tu terletak antara bilangan ke-5 dan ke (5+1), atau antara bilangan ke-5 dan ke-6 dalam deretan angka-angka  di atas, bilangan ke-5 adalah 165 sedangkan bilangan ke-6 adalah 166.
Jadi Mdn = 165+166 =165,50
                           2
Table  median nilai hasil ujian dari 9 orang mahasiswa

X
f
80
75
70
65
60
55
50
40
30
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 Total
9=N
  







Median tinggi badan 10  orang calon       yang mengikuti tes calon penerbang        
X
F
170
169
168
167
166
165
164
163
162
161
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Total
10=N

Mdn = 165 + 166 = 165,50
                     2
3.      Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih  dari 1
Apabila data tunggal yang akan kita cari nialai rata-rata pertengahan atau mediannya, sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu , sebaiknya kita tidak menggunakan cara seperti yang telah dikemukakan diatas , melainkan kita menggunakan rumus sbb :
Mdn =   +  1/2N- fkb  atau : Mdn = U-  1/2N-fkb
                       F1                                         f1
Mdn            = median
= lower limit (batas bawah nyata dari skor yang mengandung      median
fkb               = frekuensi komulatif yang terletak dibawah skor yang mengandung median
f1                 = frekuensi asli (frekuensi dari skor yang mengandung median)
N                 = number of cases
U                 = upper limit (batas atas nyata dari skor yang mengandung median )
Fka              = frekuensi komulatifyang terletak diatas skor yang mengandung median
4.      Cara mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data kelompok
Cara menghitung dan jalan fikiran yang ditempuh untuk menghitung atau mencari nilai rata-ratapertengahan dari data kelompok adalah sama saja dengan apa yang telah dikemukakan di atas. Letak perbedaannya adalah jika pada data tunggal kita tidak perlu memperhitungkan interval kelas (i) sedangkan pada data kelompok kelas interval (i), itu harus ikut diperhitungkan , sehingga rumus diatas  tadi berubah menjadi:

Mdn =  +  1/2N-fkb  X I dan Mdn = u – 1/2N-fka  Xi
                    F1                                                           f2


Mdn            = median  atau nilai rata-rata pertengahan
= lower limit (batas bawah nyata dari skor yang mengandung      median
fkb               = frekuensi komulatif yang terletak dibawah skor yang mengandung median
f1                 = frekuensi asli (frekuensi dari skor yang mengandung median)
N                 = number of cases
U                 = upper limit (batas atas nyata dari skor yang mengandung median )
Fka              = frekuensi komulatifyang terletak diatas skor yang mengandung median

C.    MODUS (MODE)
Ukuran rata-rata ketiga yang kita pelajari disini adalah modus atau mode, yang umumnya dilambangkan dengan Mo.
Modus tidak lain adalah suatu skor atau nilai yang mempunyai frekuensi paling banya; dengan kata lain, skor atau nilai yang memiliki nilai frekuensi maksimal dalam distribusi data.
a.       Cara mencari modus
Untuk mencari data tunggal
Mencari modus untuk data tunggal dapat dilakukan dengan mudah dan cepat sekali; yaitu hanya dengan memeriksa (mencari) mana diantara skor yang ada, yang memiliki frekuensi paling banyak. Skor atau nilai yang memiliki frekuensi paling banyak itulah yang kita sebut modus.
b.      Cara mencari modus untuk data kelompokan
Untuk mencari modus dari data kelompokan,digunakan rumus sbb:

Mo=     +    fa    Xi   atau  Mo  =   u -      fb         Xi
              Fa + fb                                   fa + fb
             

Mo         = modus
              = lower limit (batas bawah nyata dari interval yang mengandung modus)
Fb          =frekuensi yang letaknya dibawah interval yang mengandung modus
U           = upper limit ( batas atas nyata dari interval yang mengandung modus)
I                        = interval class (kelas interval)

Ex.
Nilai yang berhasil dicapai oleh 40 orang mahasiswa dalam mata kuliah ilmu perbandingan agama adalah sebagai berikut :
Table 3.10
Nilai hasil ujian semester mata kuliah ilmu perbandingan agama dari 40 orang mahasiswa

Interval
nilai
f
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
(60-64)
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
2
2
3
4
5   fa
(10)  maksimal
5   fb
4
3
2
1
Total
40 = N
Dari table 3.10 dapat kita ketahui, interval nilai yang mengandung modus adalah interval 60-64, karena interval nilai tersebutlah yang memiliki frekuensi paling banyak. Dengan diketahuinya interval yang mengandung modus, maka berturut-turut dapat kita ketahui : lower limitnya(l) = 59,50, upper limitnya (u)64,50;
Fa = 5; fb=5adapun i=5
Dengan mensubtitussikan kedalam rumus pertama dan rumus kedua,maka dengan mudah dapat kita ketahui modus dari data tersebut :
Rumus pertama
MO =    +    fa    Xi   = 59,50 +    5    Xi
              Fa + fb                        5+5
  = 59,50 + 2,50 = 62
Rumus kedua
Mo = u-     fa    Xi   = 64,50 -   5    X 5
              Fa + fb                      5+5        
= 64,50 – 25  = 64,50 – 250 = 62
                10
c.       Penggunaan modus
Mencari modus kita lakukan apabila kita berhadapan dengan kenyataansebagai berikut :
·         Kita ingin memperoleh nilai yang menunjukan aturan rata-rata dalam waktu yang paling singkat
·         Dalam mencari nilai yang menunjukan nilai rata-rata itu kita meniadakan factor ketelitian , artinya : ukuran rata-rata itu kita kehendaki hanya bersifat kasar saja.
·         Dari data yang sedang kita teliti (kita cari modusnya) kita hanya ingin mengethui cirri khasnya saja.
d.      Kelebihan dan kelemahan modus
                        Seperti dapat kita pahami dari uraian di atas , kebaikan modus dapat menolong diri kita dlam waktu yang paling singkat memperoleh ukuran rata-rata yang merupakan cirri khas dari data yang kita hadapi.
Adapun kelemahan ialah kurang teliti karena modus terlalu mudah dicapai. Selain itu jika frekuensi maksimal yang terdapat dalam distribusi frekuensi data yang kita teliti itu lebih dari satu buah , maka akan kita peroleh modus yang banyaknya lebih dari satu buah. Kemungkinan lainya , bias terjadi bahwa dalam suatu distribusi frekuensi tidak dapat kita cari atau tentukan modusnya, disebabkan karena semua skor yang ada mempunyai frekuensi yang sama. Walhasil , sebagai salah satu ukuran rata-rata, modus sifatnya labil (tidak stabil).





                                                                                          

2 komentar: